En mathématiques deux plus deux – 2 + 2 – n’est pas toujours égal à 4il peut aussi être 0 ou 1 tant qu’on utilise les règles dearithmétique modulaireégalement connu sous le nom arithmétique de l’horloge. Dans ce type d’arithmétique, basée sur le calcul des restes de divisions entières, les nombres ne sont pas infinis et lorsque le plus grand nombre est dépassé on recommence par le plus petit, tout comme dans l’horloge !
Voyons comment les calculs sont effectués avec ces nombres et dans quel sens 2 + 2 est égal ou non à 4, et voyons ce que l’arithmétique modulaire a à voir avec numéro 97 avec le Vérification IBAN.
Arithmétique de l’horloge
Commençons par un exemple béton. Imaginons une horloge qui compte le nombre de trimestres écoulés dans une année – qui sont 3 – et supposons que 2 se soient écoulés quarts en hausse de 3 depuis le début de l’année. La main indiquera alors le chiffre 2.
Attendons encore 2 trimestres. Cela signifie que nous aurons atteint 2 + 2 = 4 trimestres. Mais sous nos yeux il n’y a pas de 4! En fait, après 2, le chiffre 0 revient, puis 1, puis encore 2. Donc en partant de 2, en avançant l’aiguille de 2 quarts, on retombe sur 1 (comme on le voit sur la figure ci-dessous).
Autrement dit selon cette horloge 2 + 2 = 1pas 4. Mais ce n’est pas le seul résultat étrange qu’on peut obtenir : par exemple, si l’aiguille est sur 2 et qu’on ajoute 1 quart, l’aiguille va passer à 0. Bref, dans cette montre 2 + 1 = 0 et aussi 1 + 2 = 0.
Nous avons compris que dans cette horloge – dans ce « monde numérique » – il n’y a que 3 chiffres : 0, 1 et 2. Et donc tous les autres n’existent pas ? Pas exactement. Ils existent, mais ils sont tous convenable. Essayons de comprendre ce que cela signifie.
4 et 1 sont « égaux » : arithmétique modulaire
Imaginons maintenant que 3 trimestres se soient écoulés depuis le début de l’année, donc l’aiguille aura fait un tour complet et sera à 0. Donc 3 et 0 sont le même nombre dans ce « monde » !
De même, l’aiguille sera à 0 si les quarts passés sont 6, 9, 12 ou tout multiple de 3. Bref, dans ce « monde numérique » ttous les multiples de 3 seront le même nombre.
Cependant, dans le cas où 4 quarts se sont écoulés – comme dans notre exemple de 2 + 2 – l’aiguille, après avoir parcouru un tour complet – 3 quarts – se sera arrêtée au chiffre 1 et, au fil du temps, y reviendra chaque fois que 3 autres quarts se seront écoulés.
En d’autres termes, l’aiguille sera sur le numéro 1 quand 4, 7, 10, 1000, … trimestres sont passés, c’est-à-dire tous les nombres qui, divisés par 3, donnent un reste de 1En effet:
4 = 3 × 1 + 1
7 = 3 × 2 + 1
10 = 3 × 3 + 1
1000 = 3 × 333 + 1
En mathématiques, on dit que tout cela Nombres Je suis convenable 1 module 3 et il est écrit
4 ≡ 1 (mod 3),
7 ≡ 1 (mod 3)
10 ≡ 1 (mod 3).
1000 ≡ 1 (mod 3).
La même chose se produit pour le nombre 2 : tous les nombres qui, divisés par 3, donnent un reste de 2 sont congrus à 2 module 3, comme 5, 8, 11 et 14.
En pratique
il n’y a pas de nombres infinis, mais seulement 3, le chiffre 0, le chiffre 1 et le chiffre 2 qui correspondent aux possibles restes des divisions par 3.
Cet ensemble de nombres, en mathématiques, est appelé « Module Z3», et il est écrit Z3. Et des ensembles numériques de ce type peuvent être définis à partir de n’importe quel nombre ! Par exemple Z2 (« Z module 2 ») contient uniquement i chiffres 0 et 1 (et c’est très différent des nombres binaires qui sont infinis), Z12 contient les chiffres de 0 à 11 (utilisé pour la montre-bracelet, généralement avec le 12 au lieu du 0), tandis que Z24 contient je nombres de 0 à 23 et c’est ce qui est utilisé pour décrire les 24 heures de la journée !