L’énigme du 100 ampoules et de 100 grenouilles C’est un rhout ingénieux et amusant, non seulement parce qu’il stimule notre raisonnement, mais aussi parce que sa solution nous en enseigne une vérité mathématique!
La situation est la suivante: il y a 100 ampoules toutes en ligne, initialement éteintes et 100 grenouilles qui éclairent et les éteignent en sautant dessus. Chaque fois Rana saute sur un seul allumer ce oui s’allume, et vice versa. Les grenouilles, cependant, sautent sur les ampoules avec une logique précise: les ampoules et les grenouilles sont numérotées de 1 à 100 et chaque grenouille saute uniquement sur les ampoules associées à un nombre multiple de leur nombre.
Combien d’ampoules restent sur Après le 100-Esima, Rana a fait son travail? Essayons de le comprendre ensemble.
L’énigme des 100 grenouilles et 100 ampoules: lesquelles restent allumées?
Nous parlons de première grenouille. Le nombre qui vous est attribué sera 1 et par conséquent, puisque tout entier est divisible par 1, tous les nombres de 2 à 100 sont ses multiples! Pour cela, la première grenouille sautera toutes les ampoules, une à la fois, Les lisonner tous.
Là deuxième grenouilled’un autre côté, ne fera que sauter bulbes égauxc’est-à-dire les multiples de 2. En bref, il sautera deux ampoules à la fois, et comme la grenouille numéro 1 avait allumé toutes les ampoules, la deuxième grenouille va désactiver Tous ceux sur lesquels il se retrouvera sauter. Commencez à partir de la seconde, en éteignant, puis sautez sur le quatrième et ainsi de suite, éteignant toutes les ampoules.
Là troisième grenouille Il parvient à sauter Trois ampoules à la fois (Les multiples de 3!) Et sautent dans le numéro 3, numéro 6, 9 et ainsi de suite. La quatrième grenouille saute 4 ampoules à la fois, la cinquième grenouille 5 bulbes à la fois, et ainsi de suite jusqu’à la centième grenouille qui saute directement sur l’ampoule numéro 100.
Mais alors que pour la première et la deuxième grenouille, il était facile d’établir les ampoules qu’ils auraient tournées et ce qu’ils auraient éteint – les premiers les ont tous enflammés, tandis que le second s’est désactivé – pour les grenouilles restantes, la situation devient un peu plus complexe!
Pensons par exemple à Troisième grenouille. Quand il saute sur le troisième allumer le va s’éteindre, Parce qu’il avait été allumé par la première grenouille, tandis que la deuxième grenouille ne le touchait pas étant les 3 étranges. Mais quand la troisième grenouille arrive sur le Sixième ampoule – puisque 6 est multiple de 3 – le va s’allumer! En effet, la sixième ampoule, contrairement au troisième, a déjà été touchée à la fois par la première et la deuxième grenouille, qui l’a ensuite allumée puis éteinte, puis arrive à la troisième grenouille qui, en fait, l’allume.
Bref … quelle confusion. Comment répondons-nous à la question:
Après que toutes les grenouilles aient sauté, quelles ampoules seront allumées?
Pour essayer de donner une réponse, commençons à partir d’une version simplifiée de l’Indovinel
L’énigme des grenouilles et des lampes: que se passe-t-il si elles n’ont que 6 ans?
Imaginons que le bulbes Et les grenouilles ne sont pas 100, mais seulement 6. Dans ce cas, nous avons juste besoin de penser à 1 à 6 numéros et à qui sont leurs partitions:
- 1 est multiple de seulement 1, il sera donc éclairé de la première grenouille et restera sur;
- 2 est multiple de 1 et 2 Et donc il sera pressé deux fois, c’est-à-dire en marche et en désactivation, donc il restera désactivé;
- La même chose à propos du 2e s’applique à 3 qui, étant d’abord, n’est divisé que par 1 et lui-même et restera donc éteint;
- 4 est multiple de trois nombres: 1, 2 et 4et donc se retrouvera sur;
- 5Comme ça comme 2 et 3c’est le premier et donc pour la même raison, il restera épuisé;
- Ainsi, nous arrivons à 6cet être multiple De quatre nombres – 1, 2, 3 et 6 – Il sera pressé 4 fois terminant épuisé.
En fin de compte, après le passage de la sixième grenouille, les ampoules qui sont restées sont seulement numéro 1 et numéro 4: quelles ont-elles différentes des autres? Sur l’ampoule 1, seuls les premières grenouilles sautent, tandis que dans le numéro 4 3, les grenouilles sautent (1, 2 et 4). Dans les deux cas, c’est un nombre impair de grenouilles, dans tous les autres cas, le nombre de grenouilles qui sautent sur les ampoules est égal: deux pour les ampoules numéro 2, 3 et 5, tandis que sur la foudre numéro 6, ils sautent quatre grenouilles. D’un autre côté, si initialement une ampoule est éteinte, chaque fois qu’ils sautent sur 2 grenouilles, il sera d’abord allumé puis éteint, et pour l’allumer à nouveau, il devrait au-dessus d’une autre grenouille. Par conséquent, Pour faire une ampoule, il est nécessaire qu’ils sautent par-dessus un nombre étrange de grenouilles.
Et c’est un indice énorme! Si l’ampoule reste allumée lorsqu’il saute dessus un nombre étrange de grenouilles, cela signifie que Les ampoules qui ont un nombre impair de diviseurs restent sur! Mais comment comprenons-nous quels chiffres entre 1 et 100 ont un nombre impair de diviseurs? Y a-t-il une règle générale?
La solution à l’abondance des 100 grenouilles et 100 ampoules et la règle carrée parfaite
Eh bien … oui! Il y en a un règle générale, un Loi mathématique!
Pour le comprendre, nous commençons à partir de l’exemple de l’indicenel réduit des 6 ampoules. Les deux seuls à être restés étaient le 1 et 4. Qu’ont-ils en commun? Ce sont les seuls carrés parfaits Entre 1 et 6! Et cela pourrait être la clé de lecture dont nous avions besoin.
Grâce à l’Indovinel avec seulement 6 ampoules, nous avons compris que pour rester, une ampoule devait être « ignorée » un nombre étrange de fois, et donc pour être combiné avec un nombre de 1 à 100 qui avait un Nombre étrange de séparateurs. Est-il possible que tous les carrés parfaits – c’est-à-dire ces nombres obtenus à partir d’un entier multiplié par lui-même – pour avoir un nombre impair de séparateurs?
Essayons d’y penser avec quelques exemples. N’importe quel nombre – par exemple le 15 – peut être écrit comme une multiplication entre deux nombres différents – 15 en fait il est 3 × 5. Et dans le cas de nombres premiers, c’est-à-dire ces nombres entiers qui n’ont que deux séparateurs, c’est-à-dire 1 et eux-mêmes, comme 5? Eh bien, nous avons déjà répondu à la phrase: 5 peut être écrit comme 5 × 1.
Bref, pour tout numéro un naturel peut être trouvé couple De Nombres Naturel qui, se multipliant les uns aux autres, donnez ce nombre en conséquence. Dans le cas des nombres premiers, ce couple n’en est qu’un et il n’y a que 2 diviseurs, tandis que dans le cas de plus grands nombres, plus de couples peuvent être trouvés et notre nombre aura autant de séparateurs autant de couples! Pour nous comprendre, prenons un exemple: le numéro 24 Il peut être écrit comme 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4× 6 Et en fait il a 8 séparateurs: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.
Mais si nous considérons Un carré parfait, Un de ces couples contiendra un seul numéro! Prenons le numéro 16 par exemple, soit 4 à la seconde. Il peut être écrit comme 1 × 16, 2 × 8, 4 × 4. Cela signifie que la troisième paire multiples ne fournit pas deux multiples, mais seulement un! C’est-à-dire le 4.
Fondamentalement, les nombres qui en ont un quantités étranges De séparateurs Ce ne sont que le Carrés parfaitscomme 4 et 16, donc la solution de l’Indovinel est que:
En fin de compte, toutes les ampoules correspondant à des nombres carrés entre 1 et 100 seront allumées, à savoir le nombre 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100. Toutes les autres ampoules seront désactivées.