Là Bouteille Kleindécrite pour la première fois par le mathématicien allemand Felix Klein en 1882, est une surface, c’est-à-dire une forme géométrique bidimensionnelle parent du beignet, qui n’est cependant pas orientable, en fait il n’a qu’une seule face et bien qu’il nous semble fermé il n’a ni intérieur ni extérieurtout comme la plus célèbre bande de Möbius. Voyons comment il est fabriqué et expliquons ses étranges propriétés.
La bouteille de Klein est une surface, comme peuvent l’être des objets géométriques tels que la sphère (vide) et le plan. Ce sont des formes géométriques de dimension 2, des versions abstraites d’objets concrets comme le ballon et des feuilles de papier. Cependant, la bouteille Klein est un peu étrange par rapport à ces surfaces. C’est une figure géométrique qui peut être considérée comme une sorte de beignetdans le taureau mathématicien. Pour construire un beignet, nous pouvons prendre un tube, le plier un peu et joindre ses extrémités pour qu’elles s’emboîtent comme le montre la figure ci-dessous.
Alternativement, nous pouvons, comme dans la partie inférieure de la figure, essayer de faire glisser les deux extrémités l’une sur l’autre, jusqu’à ce qu’elles correspondent, créant ainsi un Bouteille Klein. Cependant, pour réaliser cette opération, un morceau de tube semble devoir nécessairement s’emboîter dans l’autre, et en fait toutes les représentations de la bouteille de Klein impliquent qu’une partie du tube s’emboîte dans l’autre, comme dans la figure ci-dessous.
Mais le fait est que la vérité Bouteille Kleinne prévoit pas que ses parties s’interpénétrent, contrairement à ce que l’on voit dans toutes ses représentations : mais comment est-ce possible ?
La réalité pour construire cette surface 3 dimensions ne suffisent pas, mais il en faut 4mais nos représentations graphiques (ou sculpturales) ne peuvent pas dépasser la troisième dimension : c’est quelque chose de difficile à imaginer mais qui n’est pas si inhabituel en mathématiques. Essayons de comprendre l’exemple le plus simple d’un cercle et d’un segment dessinés sur une feuille de papier comme dans la figure ci-dessous. Pour joindre les deux extrémités du segment, en restant sur le plan de la tôle, il faut obligatoirement traverser la circonférence (voir partie supérieure de la figure). Si au contraire (voir partie inférieure de la figure) on laisse les extrémités du segment sortir de la feuille de papier et parcourir la circonférence en passant dessus, alors il est possible de joindre les deux extrémités sans aucune interpénétration. En nous déplaçant dans 3 dimensions au lieu de deux nous avons réussi à joindre les deux extrémités.
Une chose similaire se produit pour la bouteille de Klein, sauf qu’au lieu de 2 à 3 dimensions, nous devons passer de 3 à 4 dimensions. C’est pourquoi toutes les représentations de la bouteille Klein que l’on voit, images ou sculptures, sont toutes fausses, puisqu’elles comportent toujours des parties interpénétrées.
Mais celui-ci ce n’est pas la seule bizarrerie de la bouteille Kleinétant donné que, contrairement aux sphères, aux cylindres et aux plans, il s’agit d’un surface non orientable. Si l’on prend une feuille de papier, en effet, on peut toujours colorer une face d’une couleur et l’autre d’une autre couleur, sans que les deux couleurs différentes ne se touchent sauf au bord de la feuille.
De la même manière on peut imaginer colorer l’intérieur d’une balle avec une couleur et l’extérieur avec une autre, sans que les deux couleurs ne se touchent jamais. Ceci n’est pas possible avec la bouteille de Klein et c’est pourquoi les mathématiciens disent que ce n’est pas orientable contrairement aux sphères et aux plans qui sont plutôt surfaces orientables.
Il s’agit donc d’une surface bidimensionnelle non orientable au même titre que la bande de Möbius, figure célèbre précisément parce qu’elle n’a ni intérieur ni extérieur et peut être vue comme une route qui ne finit jamais. Sur la bande de Möbius, il est possible de partir d’un point et, en marchant sans jamais franchir les bords, de revenir au même point et de se retrouver du côté opposé de la surface. Si vous continuez ensuite à marcher, toujours en avant, vous pourrez revenir au point de départ, du même côté de la ceinture. Le Bande de MöbiusEn effet, il n’a pas deux côtés mais un seultout comme la bouteille Klein. Dans la figure ci-dessous, nous avons tracé le chemin d’une fourmi qui, marchant, marchant, passe par quoi on dirait l’extérieur de la surface à quoi on dirait l’intérieur de la surface. En particulier, vous pouvez voir comment il passe deux fois par le même point de la bouteille (en haut), une fois d’un côté de la surface et une fois de l’autre.
Toutefois, si la fourmi marchait sur une sphère, elle ne pourrait pas passer de l’extérieur vers l’intérieur simplement en marchant dessus. En pratique dans le cas de Bouteille Klein on ne peut pas vraiment parler d’externe et d’internecar les deux côtés de la surface sont reliés : la surface n’a qu’un seul côté, pas deux, c’est pourquoi nous avons utilisé le mot « il semble » faisant référence à l’extérieur et à l’intérieur. C’est un peu comme si la Bouteille Klein n’en était qu’une. version sans frontières de la bande de Möbiuset dans un certain sens c’est exactement ainsi car si on le coupe en deux parties (voir figure ci-dessous), le long de son plan de symétrie, on obtient deux bandes de Möbius qui à leur tour, collées le long du bord, donnent vie à une Bouteille de Klein.
