Avec « Problème de Monty Hall » (ou paradoxe de Monty Hall) fait référence à un célèbre et unique énigme apparente qui entre dans le cadre de calcul de probabilité. Ce paradoxe tire son nom du conducteur de jeux télévisés Américain Faisons un marché dans lequel les participants doivent conclure des accords – offres – juste avec Salle Monty (pseudonyme de Maurice Halprin).
L’expression « paradoxe », qui pose en réalité problème, est due au fait que le la solution semble contredire nos intuitions fondamentalesmais pour être honnête – contrairement à ce qui se passe dans le cas du paradoxe du barbier par exemple – ici il n’y a pas pas de piège logique.
Comment fonctionne le jeu à trois portes : formulation du problème
Le jeu commence par un concurrent placé devant trois portes fermées. Le concurrent sait que derrière seulement un de ces portes se trouve une voituretandis que derrière les deux autres il y en a un pour chacun chèvre. Visiblement, le concurrent n’a aucune idée de quelle porte cache la voiture. Le joueur, dans un premier temps, peut choisissez l’une des trois portes et avoir comme récompense ce qu’il y a derrière la porte sélectionnée, l’espoir est clairement de pouvoir gagner la voiture !
Une fois la sélection effectuée apporte par le joueur reste fermé et prend le relais conducteur. Le dernier Vous savez Très bien ce qu’il y a derrière chaque porte et ouvre l’une des deux portes restantes, révélant l’une des deux chèvres.
À ce stade, le gestionnaire donne le possibilité au joueur de changer le port choisi initialement, puis en sélectionnant le seul port restant.
Compte tenu de la situation, le les mathématiques suggèrent toujours le changement arriver à cette étape, car le choix de la porte restante rend augmenter la probabilité de gagner la voiture qui le transporte par 1/3soit environ 33%, en hausse à 2/3soit environ 66 %. Mais comment cela peut-il en être ainsi ?
Solutions au problème de Monty Hall
Pour parvenir à la solution de ce problème, essayons de visualiser le trois scénarios possiblescomme si nous étions extérieurs au jeu et conscients de tout ce qui se cache derrière les portes :
- Le joueur dans le premier choix sélectionnez la porte avec une chèvre derrière elle. Dans ce cas, nous l’appelons « chèvre 1 » car il y a au total deux chèvres.
Puis le conducteur choisit l’autre porte avec ce qu’on peut appeler le « chèvre 2« .
À ce stade, au joueur il vaut mieux changer la porte. Choisir la porte restante remporte la voiture. - Le joueur dans le premier choix sélectionnez la porte avec le » derrière ellechèvre 2« .
Le conducteur choisissez la porte qui cache le « chèvre 1« .
Dans ce cas également, il est préférable que le joueur change de porte pour gagner la voiture. - Le joueur dans le premier choix sélectionner la porte avec levoiture.
Le conducteur choisis la porte qui se cache une des deux chèvrespeu importe lequel.
Seulement dans ce cas au joueur ça ne vaut pas la peine de changer apporte.
La solution schématique au problème
En examinant attentivement ces scénarios, nous constatons qu’au moment de premier choix le joueur a toujours 1/3 de chance de sélection la porte avec la voiture Et 2/3 probabilité de choisir une des portes avec la chèvre. Après cela, il y a l’action de conducteurqui choisit e il ouvre une porte dans laquelle il y a définitivement une chèvre (puisqu’il sait tout). Ce que fait évidemment l’hôte ça n’affecte pas sur le chance de choix initial du joueur.
A ce stade, le joueur est certain que une des deux portes est restée fermée (celui choisi par lui ou l’autre) cache le machine. Alors ou c’était particulièrement chanceux avec le choix initial (comme nous le voyons dans le scénario 3) et il n’est pas pratique de changer (1 cas sur 3). Ou, si le premier choix avait été malheureux et avait sélectionné une des deux portes cachant une chèvre, alors il se retrouverait dans le scénario 1 ou 2 et serait donc toujours Mieux pour lui changement apporte (2 cas sur 3).
Donc en général, étant donné la probabilité, c’est toujours mieux de changer si vous n’êtes pas au courant du résultat du premier choix. Tout cela peut être compris schématiquement en le visualisant, mais les formules mathématiques nous le démontrent aussi.
Les règles de probabilité : le théorème de Bayes
Pour nous aider à solution théorico-mathématique nous devons nous appuyer sur l’un des théorèmes les plus importants du calcul des probabilités, connu sous le nom de Théorème de Bayes du nom du savant qui l’a développé. Ce théorème relie le probabilité d’un événement comme le fait de trouver la voiture derrière la porte, avec le probabilité de ce même événement si les conditions d’autres événements qui y sont liés changent.
La formule est la suivante :
Dans cette formule À Et B il y en a deux événementsP(A) est la probabilité de l’événement A, P(B) est la probabilité de l’événement B, P(A|B) est la probabilité de l’événement A lorsque B se produit et P(B|A) est la probabilité de B quand A apparaît également.
Revenons au paradoxe de Monty Hall, on sait qu’ils existent trois portes et on appelle :
– E1 l’événement « il y a une voiture derrière la porte 1 » ;
– E2 l’événement « il y a une voiture derrière la porte 2 » ;
– E3 l’événement « il y a une voiture derrière la porte 3 ».
Et de plus, en nous plaçant du point de vue du joueur on appelle aussi :
– C1 l’événement « il y a une chèvre derrière la porte 1 » ;
– C2 l’événement « il y a une chèvre derrière la porte 2 » ;
– C3 l’événement « il y a une chèvre derrière la porte 3 ».
Disons maintenant que le le concurrent choisit la porte 1 et que le le conducteur ouvre la porte 3 derrière lequel il y a évidemment une chèvre.
Si nous voulons savoir quelle est la probabilité de retrouver la voiture derrière la porte 2, (donc le probabilité qu’en changeant le choix vous trouviez la machine) sachant que derrière la porte 3 se trouve une chèvre, on applique le théorème de Bayes :
Calculons maintenant les valeurs.
– P(E2) c’est-à-dire que la probabilité qu’il y ait une voiture derrière la porte 2 est égal à 1/3 car au départ il n’y a qu’une seule voiture derrière une des 3 portes ;
– P(C3) c’est-à-dire que la probabilité qu’il y ait une chèvre derrière la porte 3 avant que le conducteur ne l’ouvre est égal à 1/2 car c’est la probabilité que derrière la porte 3 il y ait une chèvre sachant que le conducteur doit choisir entre les deux portes non choisies par le concurrent.
– P(C3|E2) c’est-à-dire que la probabilité qu’il y ait une chèvre derrière la porte 3 sachant que la voiture est derrière la porte 2 (ce que le conducteur sait) est égal à 1.
En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons que probabilité de trouver la voiture derrière la porte 2 Et:
De cette façon c’est prouvé mathématiquement qu’il y en a un probabilité de 2/3 ou un peu plus que 66% De gagne la voiture si tu changes son choix initial, qui est clairement supérieur aux 33% restants de probabilité de victoire qu’on aurait si ça n’a pas changé le port sélectionné initialement.