UN carré magiquec'est-à-dire une matrice carrée qui contient des nombres tous différents les uns des autres, et dans laquelle les sommes des nombres présents dans chaque colonne, ligne et diagonale donnent le même résultat. Ce que vous voyez dans l’image ci-dessus, par exemple, est un carré magique : voir c’est croire.
Il s'agit d'une figure ancienne, remontant àEmpire chinois de 650 avant JC., qui au fil des siècles a uni la superstition et les mathématiques. Voyons dans cet article comment il est construitQuels sont les vôtres particularité et comment est-ce possible joue-le. Spoiler : cela a à voir avec le sudoku!
Caractéristiques et types de carré magique : 3×3, Sator et diabolique
Comme nous l'avons dit, dans les carrés magiques, nous trouvons des nombres qui, ajoutés dans une ligne, une colonne ou une diagonale, donnent toujours le même nombre, appelé constante magique M. Le nombre n de lignes ou de colonnes est dit ordre du carré.
L'exemple le plus classique est 3×3 qui montre les nombres de 1 à 9. C'est donc un carré magique d'ordre 3 et, si on fait le calcul, son la constante magique est de 15. Mais combien y a-t-il de carrés magiques ?
Nous ne considérons que les carrés magiques comportant des nombres de 1 à n. Un carré magique de l'ordre 2 n'existe pas, cela ne fonctionnerait que si tous les nombres étaient identiques. Depuis ordre 3, mais il n'y en a qu'un, ce que vous voyez sur la figure. Tous les autres carrés magiques d’ordre 3 sont des rotations de celui-ci. Mais d’ordre 4, il y en a jusqu’à 880, et d’ordre 5 environ 275 milliards. Bref, tout croissance de l'ordreLe nombre De Les carrés magiques possibles augmentent très rapidement et il n'existe pas de règle précise qui puisse nous dire pour chaque ordre combien de carrés magiques existent.
Cependant, il y a formule magique pour calculer la constante magique M(n) d'un carré magique de taille n (si vous souhaitez savoir comment dériver cette formule, vous pouvez la trouver dans la première source citée à la fin de l'article):
Avec cette formule, on peut trouver la constante magique de n’importe quel carré magique ! Pensez-vous que le le plus grand carré magique trouvé jusqu'à présent (P. Weber, T. Herbig, 2012) est de taille 3559 x 3559, et si on fait le calcul, son constante magique il se promène environ 22 milliards.
Les carrés maléfiques
Il existe une sous-catégorie particulière de carrés magiques, celle de carrés maléfiques. Ce nom est dû au fait que dans ces tableaux nxn ils ont encore plus de « coïncidences » : même les diagonales brisées, si elles sont ajoutées, donnent en conséquence une constante magique.
Le Sudoku est une variante du carré magique
Eh bien oui, l'un des jeux de logique les plus populaires sous l'égide du sudoku – c'est juste un carré magique 9×9, même si spécial. En effet, dans ce type de carré le les chiffres de 1 à 9 sont répétés dans chaque ligne, dans chaque colonne et dans chacun des 3 x 3 sous-carrésqui sont des carrés magiques classiques d'ordre 3.
Place Sator
Au XVIIIe également Euler Il s’intéresse aux carrés magiques et les étend au-delà des nombres. En fait, il m'a inventé Carrés latinsqui au lieu des nombres de 1 à n contenir chiffres ou symbolesqui ne doit apparaître qu'une seule fois dans chaque ligne et colonne.
Un exemple très célèbre – et incroyablement fascinant – de carré latin est le Place Satorun carré d'ordre 5 qui contient les cinq mots « SATOR AREPO TENET OPÉRA ROTAS« . Dans ce cas il s'agit d'un carré latin très particulier : La phrase peut être lue dans tous les sensparce que c'est une phrase palindrome ! Dont, entre autres choses, le mot central « principe » est lui-même un palindrome.
Cette place était trouvé dans de nombreuses ruines et monuments dispersés à travers l’Europe. En Italie, nous pouvons le voir – entre autres endroits – sur un côté de la Cathédrale de Siennemais surtout gravé sur une colonne des fouilles de Pompéi.
La magie des mathématiques au fil des siècles : à quoi servaient les carrés magiques
L'histoire du carré magique commence par unla Chine ancienne. La légende chinoise de Le Shu Cela remonte à 650 avant JC. et raconte l'histoire du roi Yu qui, avec l'intention d'endiguer une crue de la rivière Le, en voit un sortir de l'eau tortue magique, ça il portait un carré magique sur sa coquille (dans ce cas, les nombres de 1 à 9 étaient représentés par des points reliés entre eux). Cette légende entraînait une grande superstition : on croyait que le disposition des nombres égaux aux coins du carré, portaient chance, et pour cette raison ils étaient utilisés comme talismans de bonne chance.
A partir de cette légende, nous avons vu apparaître le carré magique dans différents coins du monde. On le retrouve dans Textes indiens datant de 100 après JCsur les différentes places Sator à travers le monde, sur le La Sagrada Familia de Gaudi, à Barcelone, où apparaît l’une des constantes magiques 33 – comme les années du Christ. Dans l’histoire de l’art, le tableau est célèbre Mélancolie I d'Albrecht Dürer (1514), dont l'interprétation est liée à l'alchimie.
Comment résoudre un carré magique ?
Pour le plaisir et le divertissement, il est possible de construire des carrés magiques. Bien entendu, cela peut aussi se faire de manière aléatoire, ou en décidant d’utiliser des chiffres non consécutifs – une excellente alternative au Sudoku. Mais il y en a un technique précise pour créer un carré magique d'ordre impair.
Regardons cela ensemble en prenant un carré comme exemple 5×5, donc avec nombres de 1 à 25:
- tu choisis n'importe quel point de départ – mais n'appartenant pas aux diagonales – et s'écrit 1;
- nous procédons à la prochain numéro le positionner un pas à droite et un pas en haut par rapport à la place où vous vous trouvez
- si la case en haut à droite est déjà occupée par un autre numéro, on écrit tout à l'heure le numéro suivant dans la case sous la boîte où vous vous trouvez
- si je me retrouve aux bords de la place, Je pense comme « Pac Man »: si je sors du côté droit, je réapparaît du côté gauche ; si je sors en haut, je réapparaît en bas (et vice versa).