Pourquoi moins pour moins plus ? La réponse mathématique à cette question peut être résumée par «parce que si ce n’était pas le cas, les choses ne s’additionneraient pas« . Il s’agit en fait d’un exemple typique (pour les mathématiques) d’une règle formulée de manière à ne pas entrer en conflit avec d’autres règles préexistantes. C’est donc une règle qui ne peut pas être prouvécependant, il existe un raisonnement solide qui conduit à cette conclusion. Voyons cela, accompagné de deux exemples pour visualiser intuitivement les raisons de cette règle des signes.
La réponse mathématique à la question de savoir pourquoi moins fois moins, c’est plus
LE nombres négatifs ils ont été inventés après les nombres positifs et ils apparaissent comme une extension de nombres positifsune extension qui vous permet d’effectuer des opérations, telles que 3 – 5ce qui autrement ne pourrait pas être fait.
En mathématiques, l’une des principales choses que vous faites avec les nombres sont les opérations, et lorsque vous inventez de nouveaux nombres, vous devez également comprendre comment calculer les opérations. Dans ce cas, puisqu’il s’agit d’une extension des nombres positifs, il est souhaitable que les résultats des opérations n’entrent pas en conflit avec les règles et résultats des opérations sur les nombres positifs.
Concernant notamment le « moins pour moins, c’est plus » il s’agit de savoir si il vaut mieux que le résultat de –1 × –1 soit –1 ou 1.
Essayons de voir ce qui se passerait si le résultat était –1alors testons l’hypothèse –1 × –1 = –1. Pour ce faire, calculons –1 × (–1+1) et voyons si tout se passe bien. Ce calcul peut être effectué de deux manières, la première est calculer d’abord la somme entre parenthèses puis la multiplication:
–1 × (–1+1) = –1 × 0 = 0
Cependant, il existe une autre façon de faire ce calcul, car propriété distributivequi s’écrit
une × (b+c) = une × b + une × c
En appliquant cette propriété à notre opération nous obtenons :
–1 × (–1+1) = –1 × –1 + (–1) × 1
À ce stade, puisque nous testons l’hypothèse (–1) × (–1) = –1, nous pouvons écrire :
–1 × –1 + (–1) × 1 = –1 + (–1) = –2
En pratique, le résultat de –1 × (1–1) Et à la fois 0 et –2en même temps, et c’est très étrange.
Maintenant, testons plutôt l’hypothèse –1 × –1 = 1. Notre calcul devient :
–1 × (–1+1) = –1 × –1 + (–1) × 1 = 1 + (–1) = 0
ce qui est en parfait accord avec le résultat obtenu en effectuant d’abord la somme entre parenthèses.
Fondamentalement, la raison pour laquelle –1 × –1 = 1 et donc «moins pour moins, c’est plus » c’est que si ce n’était pas le cas, des choses étranges se produiraient comme le nombre -2 qui devient égal au nombre 0…ou bien nous devrions abandonner la propriété distributive, mais cela rendrait les mathématiciens très tristes.
L’explication économique de la règle des signes
Imaginons que nous ayons un compte bancaire et que nous devions effectuer un dépôt acompte de 10€ chaque mois. Puisqu’il représente pour nous une sortie, nous pouvons indiquer ce chiffre avec un nombre négatif, –10€ (si au contraire nous prenions de l’argent à la banque, le versement serait positif, +10 €).
Si nous venons de payer, nous sommes quittes, mais si avec une machine à voyager dans le temps nous avançons de trois mois, nous nous retrouvons à devoir payer un seul versement de –30 € qui prend en compte les 3 échéances de –10 € que nous n’avons pas encore payées. Payer 3 échéances de –10 € équivaut à payer une échéance de –30 €, soit –10 € × 3 fois = –30 €qui s’écrit en mathématicien –10 × 3 = –30. Maintenant, avec la machine à voyager dans le temps, revenons au présent puis revenons 3 mois en arrière. Cette fois nous sommes crédités à la banque de 30€ car nous avons déjà payé les 3 échéances de –10€, et comme on remonte le temps on peut dire que nous avons payé l’échéance –3 fois, autrement dit –10€ × –3 fois = 30 €qui s’écrit en mathématicien –10 × –3 = 30.
Ce type d’explication, dont on trouve diverses versions sur les réseaux sociaux, ne peut être considéré comme une démonstration de la règle, mais seulement comme une manière de l’illustrer par un exemple économique.
Un exemple imaginatif : la chambre de la bonté de Gardner
Voyons maintenant l’explication imaginative développée par le célèbre mathématicien américain Martin Gardner.
Imaginons une pièce remplie de deux types de personnes, le de bonnes personnes et le mauvaises personnesoù la bonté de la pièce est donnée par l’équilibre entre les bonnes et les mauvaises personnes, donc si la pièce contient 10 bonnes et 7 mauvaises personnes alors elle a une bonté égale à 3.
Les bonnes personnes sont les nombres positifsalors que les mauvaises personnes sont les nombres négatifs. A ce stade, nous pouvons ajouter personnes dans la pièce en les laissant entrer, ou nous pouvons soustraire les gens dans la pièce en les faisant sortir. Ajouter un nombre positif signifiera donc laisser entrer de bonnes personnes, tandis qu’ajouter un nombre négatif signifiera laisser entrer de mauvaises personnes.
Les multiplications sont des additions répétées, alors calculez –10 × 3 signifie faire entrer 10 mauvaises personnes Pour 3 fois, mais si nous le faisons sortir 10 personnes par 3 fois alors nous calculons –10 × –3 et la bonté de la pièce augmentera de 30, donc dans ce cas également, nous concluons que –10 × –3 = 30.