La formule Etjeπ + 1 = 0dit L’identité d’Eulernous parle de puissances et de nombres complexes et est considérée par beaucoup comme la plus belle équation du monde. Ce qui le rend si fascinant pour les mathématiciens, c’est sa capacité à rassembler cinq des nombres les plus importants en mathématiques. Voyons ce que nous dit cette formule, découverte par le mathématicien suisse Euler au XVIIIe siècle, ce qu’elle a à voir avec les puissances et les nombres complexes et pourquoi elle est également liée aux fonctions d’onde et à la croissance exponentielle.
LE’L’identité d’Euler (voir figure ci-dessus) est une formule qui traite de pouvoirs Et nombres complexes rassembler certains des plus importants et célèbres constantes mathématiques. Et c’est précisément grâce à sa capacité à relier inextricablement les nombres suivants que de nombreux chercheurs la considèrent comme l’une des plus belles formules mathématiques :
- là constante mathématique Et, également connu sous le nom Numéro NéperoQue ça vaut le coup environ 2,71
- πce qui en vaut la peine environ 3.14auquel un jour de l’année a même été dédié, le jour Pi.
- leun nombre étrange qui appartient au monde de nombres complexes, qui est le racine carrée de -1.
- le numéro 0leélément neutre de la somme
- le numéro 1leélément neutre de la multiplication
Les protagonistes deL’identité d’Euler ce sont tous des nombres avec des valeurs bien déterminées, même s’ils sont indiqués par des lettres, c’est pourquoi il est plus correct de l’appeler identité plutôt que équationet si nous le voulons, nous pouvons le réécrire sans même utiliser de lettre, comme dans la figure ci-dessous, mais à condition d’utiliser le symbole ≅ pour préciser que l’on approxime les valeurs de Et Et π.
Habituellement, nous la laissons écrite en lettres pour ne pas tomber dans des approximations, mais l’écrire en chiffres nous aide à comprendre qu’en fin de compte, cette formule ne nous dit rien d’autre que le résultat d’une puissance particulière dont basique c’est le numéro Et (≅2,718) et dont exposant est le produit entre π (≅ 3,14) et le Numéro complexe le (la racine carrée de -1). Donc cette identité est essentiellement le calcul d’une puissance, mais ce n’est pas n’importe quelle puissance, mais plutôt une puissance avec un exposant spécial, un nombre complexe.
Quand on parle de nombres complexes nous faisons référence à une extension des nombres réels (les nombres décimaux que nous connaissons tous). La particularité de ces chiffres est que certains d’entre eux, lorsqu’ils sont élevé à la secondeaboutit à un Nombre réel négatif. C’est ce qui arrive au numéro lepour lequel il est valable le × le = -1et à tous ses multiples, qui sont appelés nombres imaginaires. Tout nombre complexe est la somme d’un nombre réel, appelé partie réelle, et d’un nombre imaginaire, appelé partie imaginaire. Par exemple 3+4i est un nombre complexe avec vraie partie 3 Et partie imaginaire 4.
Le calcul des puissances avec i nombres complexes ce n’est pas simple et peut donner des résultats à la fois réels et imaginaires, ou une combinaison des deux. Cependant, Euler lui-même a énoncé une autre formule très importante (voir image ci-dessous), grâce à laquelle il a réussi à dériver précisément laL’identité d’Euler que nous pouvons utiliser pour calculer certaines puissances, dont celle de notre identité.
Comme nous pouvons le voir, Et élevé à leπ/4 donne un nombre complexe composé à la fois d’un partie réelle (à propos 0,71) ce qui donne un partie imaginaire (à propos 0,71le), Alors que Et élevé à jeπ/2 est égal à nombre imaginaire lesans Côté royal. Enfin, il peut arriver que le résultat soit purement numérique Réelcomme dans le cas de Et élevé à jeπ qui est égal à -1tel qu’établi par leL’identité d’Euler.
Enfin, cette formule cache en elle un autre petit bijou qui donne une touche de charme supplémentaire auL’identité d’Euler. Comme vous pouvez le voir sur la figure ci-dessus, les deux apparaissent également dans la formule fonctions trigonométriques sein Et cosinus (indiquez comment sen Et donc), qui servent à décrire les ondes et qui dans cette formule sont associés à la notion de puissance dans sa forme la plus généralisée qui prend le nom de fonction exponentielle. L’Identité d’Euler est donc aussi le résultat d’une formule capable de rassembler phénomènes ondulatoires Et croissance exponentielleune petite touche de charme supplémentaire que l’on peut visualiser avec une représentation tridimensionnelle des parties Réelle et Imaginaire des pouvoirs de Et.
