0,9999 … et 1 sont les mêmes! Pour beaucoup de gens, il est difficile à accepter, mais c’est comme ça: 0,9 (0,9 périodique), c’est-à-dire 0,9999 … avec l’infini 9 après la virgule, et 1 est le même nombre réel. Ou plutôt, ce sont deux représentations différentes de la même quantité. Pour lire cette égalité 0,9999… = 1, il s’agit de penser qu’il y a des erreurs, car 0,9 Il doit nécessairement être inférieur à 1, étant un nombre décimal composé de 0, … mais il existe plusieurs démonstrations intuitives qui peuvent nous aider à comprendre cette égalité.
1. Si 1/3 = 0,3333 … alors 1 = 0,9999 …
Nous sommes tous conscients du fait que 1/3 face à 0,3 périodique. En fait, c’est l’écriture du même nombre, d’abord sous une forme fractionnée puis sous forme décimale. Ici, à partir de cette égalité, nous pouvons voir que
Nous pouvons faire le même raisonnement avec 1/9, qui s’il est écrit en décimales est égal à 0,1111 … et qui, s’il est multiplié par 9, donne en conséquence 1, conduisant à la même conclusion ci-dessus, c’est-à-dire que 0,9999 … est égal à 1.
2. 1 – 0.9999 … donne le résultat 0
Si nous essayons de soustraire 0,9 périodique de 1, le résultat est 0. Intuitivement, nous pourrions être amenés à penser que cette soustraction donne un nombre, bien que très petit, aussi différent de 0 et qu’il a 0,0000 forme … 001. Ce que nous devons considérer, cependant, c’est que 0,9 périodique a infini 9 après la virgule! Cela signifie que, dans n’importe quelle position, nous essayons de positionner ce seul 1, il y aura certainement un 9 dans la soustraction qui le rend « se glisser ». En bref, cette « différence » ne viendra jamais, et le résultat de l’opération ne sera que de 0.
3. L’équation qui mène à l’égalité
Un autre type de démonstration nous montre comment, en définissant une équation simple, nous arrivons précisément à l’égalité que nous voulons. Commençons par définir x = 0,9999 … Et nous considérons que 10x = 9 9999 … Parce que, en multiplication par 10, déplacez simplement la virgule d’une seule position. À ce stade avec une soustraction simple, nous obtenons ce qui suit:
Nous avons donc commencé à X = 0,9999 … pour arriver AX = 1, à partir de quelle égalité.
4. Les autres démonstrations
Les démonstrations, cependant, sont d’innombrables, du plus rigoureux mathématiquement au plus intuitif, comme ceux que nous venons de voir. Nous invitons les plus curieux à visiter le lien dans les sources.