Pourquoi multiplier par zéro donne zéro? Intuitivement, nous pouvons le voir de différentes manières, mais il existe également des explications basées sur règles mathématiques. Voyons une explication concrète et mathématique basée sur la propriété distributive et sur le fait que zéro est le seul élément neutre de la somme.
La multiplication est une opération qui peut être vue concrètement de différentes manières et chacune d’elles nous fournit une explication intuitive de pourquoi multiplier par zéro donne le résultat zéro. On peut par exemple voir cette opération du point de vue d’un stand qui distribue des sandwichs.
Exemples et explication
Imaginons que nous ayons un stand qui distribue 2 sandwichs pour chaque personne présenteet imaginons que 3 personnes se présentent : il va falloir distribuer 2 sandwichs ×3 personnes, soit 2×3. D’un point de vue pratique on peut faire cela en donnant 2 sandwichs à la 1ère personne, puis 2 sandwichs à la 2ème personne et 2 sandwichs à la 3ème personne : au total nous avons distribué 2+2+2=6 sandwichs et cette façon d’interpréter la multiplication peut être décrite comme somme répétée.
Imaginons maintenant que personne ne se présente à notre banquet si nous essayons de distribuer 2 sandwichs à chacune des 0 personnes qui s’est présenté (ce qui correspond au calcul 2×0) nous ne pouvons distribuer aucun sandwich, l’action de distribution n’est pas réellement réalisée, et nous pouvons conclure que 2×0=0.
Enfin, imaginons que 2 personnes se présentent mais qu’au total il reste 0 sandwich : dans ce cas on distribue 0 sandwich à chacune des 2 personnes, soit 0+0=0 sandwich, donc aussi 0×2=0.
La réponse mathématique
Des exemples pratiques comme celui-ci sont les bienvenus en mathématiques, s’ils aident à la compréhension, mais est-on sûr que les choses fonctionneront bien même en changeant le type d’exemple pratique ? Pour éviter ce danger, les mathématiciens recherchent des explications basées sur des faits ou des faits. règles mathématiquesqui sont indépendants de l’interprétation concrète particulière. Dans notre cas, pour expliquer pourquoi un nombre multiplié par zéro vaut zéro, on peut y arriver en utilisant deux notions mathématiques :
- zéro est l’élément neutre de l’additiondonc 3+0=3, 5+0=5, n+0=nc’est-à-dire qu’en ajoutant zéro à n’importe quel nombre, le résultat sera le nombre lui-même et cela ne fonctionne qu’avec zéro.
- là propriété distributive de multiplication par rapport à l’addition nous dit que UNE×(B+C)=UNE×B+UNE×Cpar exemple 2×(3+4)=2×3+2×4
En partant de ces notions, imaginons que l’on ne connaisse pas le résultat de 3×0 et que l’on veuille connaître quelque chose sur sa valeur, on peut essayer de voir ce qui se passe en changeant un peu les cartes sur la table, comme suit :
- puisque 0+0=0, alors calculer 3×0 équivaut à calculer 3×(0+0)
- pour la propriété distributive, le calcul de 3×(0+0) donne le même résultat que le calcul de 3×0+3×0
- donc 3×0=3×(0+0)=3×0+3×0, c’est-à-dire 3×0+3×0 donne le même résultat que 3×0, c’est le même nombre.
Nous avons donc découvert que si on ajoute 3×0 à lui-même le résultat est à nouveau 3×0, autrement dit quand on ajoute 3×0 à 3×0 cela le laisse inchangé comme si 3×0 était l’élément neutre de la somme, mais on sait qu’il n’y a qu’un seul élément neutre pour la somme, c’est le nombre 0, par conséquent le résultat de 3×0 doit nécessairement être 0.