Avez-vous déjà remarqué que lorsque vous pliez une tranche de pizza, la pointe ne descend pas pratiquement jamais vers le bas, alors qu’elle le fait presque toujours si vous ne pliez pas la tranche? La raison ne réside pas dans une certaine considération physique mais est un exemple de résultat mathématique lié à la courbure des surfaces: Nous parlons du Théorème du génie mathématique Carl Friedrich Gaussce qui montre comment nous ne pouvons pas plier une surface comme nous le voulons si nous ne voulons pas risquer de le casser. Voyons ce que dit le théorème et comment il peut nous aider à manger de la pizza, en passant par des frites, des bananes et des oranges.
Quelle est la courbure d’une surface d’un point de vue mathématique (et que faire de la pizza)
Pour commencer par les mathématiciens, ils voient une pizza comme surfacec’est-à-dire un objet de taille deux, qui peut être plat comme une feuille de papier ou avoir une forme incurvée comme la puce de la figure ci-dessous qui est curieuse à la fois vers le haut et vers le bas.
Nous prenons le point central de la crosse à pommes de terre et imaginons une eaux qui marchent directement d’un haut de gamme de la puce à l’autre passant précisément avec précision pour ce point. Même si la fourmi marche droite, de l’extérieur, nous le voyons marcher une ligne incurvée, comme le vert de la figure ci-dessus. La même chose se produit si la fourmi marche directement d’un bas de gamme des puces à l’autre, le long de la ligne incurvée rouge de la figure. Les deux courbes tracées par la fourmi se rencontrent en un point mais ne sont pas les mêmes: l’une fait face et l’autre vers le bas. Pour les distinguer, comme le font les mathématiques, nous pouvons dire que l’un des deux est négatif et l’autre est positif (non, ce n’est pas une question de haut niveau et dans ce cas spécifique, nous pourrions inverser les deux signes, tant qu’ils sont différents les uns des autres).
Chaque fois que la fourmi marche sur une surface, elle passe par un inconvénient, tant ou peu, dans une direction ou une autre, selon la forme de la surface. Dans la figure ci-dessous, nous voyons le cas d’une orange dans laquelle les deux lignes sont toutes deux positives car les deux incurvées vers le centre de l’orange, les deux courbes sont assez similaires, mais ce n’est pas le cas de ceux tracés par notre anthole sur la banane.
Dans le cas d’une banane, en fait, nous avons un point où les deux lignes qui croisent ont le signe opposé, mais cette fois, la ligne négative est beaucoup plus courbe que celle positive, nous pouvons le voir comme morceau d’une petite circonférencetandis que la ligne positive semble être un morceau d’une circonférence beaucoup plus grande. Pour décrire à quel point une ligne est incurvée, les mathématiciens se réfèrent à la longueur des rayons de ces circonférences imaginaires, réussissant ainsi à décrire le courbure d’une ligne avec un nombre, qui peut être positive ou négative, grande ou petite.
Il y a un problème, cependant, si nous prenons un point sur une surface, comme pour la banane de la figure ci-dessous, nous pouvons tracer (allant toujours directement comme une fourmi!) De nombreuses lignes différentes, qui en général peuvent être plus ou moins incurvées.
Mais alors, si nous voulons établir à quel point la banane est incurvée à ce moment-là, laquelle de ces lignes devons-nous considérer? Il y a infini, nous ne pouvons pas les analyser tous! L’intuition du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) C’était suffisant Choisissez deux, la ligne avec la plus grande courbure et celle avec la courbure mineure, et multiplier les deux courbures entre ellesl’obtention ainsi un seul nombre pour chaque point de la surface a dit courbure de Gauss.
Avec cela, nous pouvons facilement établir si une surface a une courbure positive, négative ou rien. Par exemple, dans le cas de ébréchercomme il y a les deux lignes avec une courbure positive et des lignes avec une courbure négative, le courbure de Gauss Au point considéré est négatif Parce que, il est estimé en multipliant un nombre négatif et positif ensemble, et comme vous le savez « plus pour moins ça fait moins« . Il en va de même pour le point que nous avons pris à la surface de la banane.orange Au lieu de cela, nous en avons un courbure de Gauss positif car toutes les lignes ont une courbure positive.
Le cas le plus simple est celui de surfaces platescomme un tableau ou un feuille de papierquelle que soit la ligne que nous tracez en allant directement (oui, toujours en marchant comme une fourmi), c’est aussi droit vu de l’extérieur et donc le sien La courbure n’est rienpar conséquent le courbure de Gauss d’une feuille ou d’une table est juste 0: Qui l’attendrait jamais?
Ce que dit le théorème de Gauss.
Eh bien, nous avons vu ce que le courbure de Gaussmais cela ne nous dit toujours pas pourquoi la pizza ne s’effondre pas plus lorsque nous la plions. Ça revient à nous Gaussqui a montré un théorème, défini par lui Théorèmeselon lequel
Si nous replions une surface sans la déchirer, sans l’allonger et sans la dépouiller, sa courbure de Gauss ne change pas
D’un point de vue concret, le théorème nous dit que Si nous essayons d’écraser la puce sur la table, cela doit nécessairement se casser: En fait, la puce a une courbure négative, si elle pouvait s’aplatir sur la table, sa courbure devrait devenir nulle, mais cela, selon le théorème, ne peut se produire que s’il y a des ruptures. Et ici, nous pouvons enfin expliquer ce qui se passe avec la pizza.
Comme le théorème de Gauss nous aide à manger de la pizza
Une tranche de pizza peut être considérée comme une surface triangulaire plate, donc à chaque point, sa courbure de Gauss vaut zéro. Lorsque nous soulevons la tranche en le gardant simplement du bord, cela se plie inévitablement vers le bas, mais cela ne contredit pas le théorème de l’égregium car la courbure reste nulle: la ligne qui suit le pli n’a pas de courbure nulle, tandis que tous les autres sont positifs, et zéro pour un nombre positif ne fait toujours zéro (voir la figure ci-dessous).
De même, même lorsque nous replions les bords de la pizza vers le haut, la courbure de Gauss reste nulle: pour les points de la partie incurvée, une ligne droite passe, avec une courbure nulle et de nombreuses lignes incurvées avec une courbure négative (voir la figure ci-dessous), donc le produit continue d’être zéro. Maintenant, si la pizza se repliait même vers le bas, elle serait créée au moins un point pour lequel ils passent à la fois courbés vers le haut et des lignes incurvées vers le bas et la courbure de Gauss deviendrait négative (« plus pour moins ça fait moins« !): Ce pour le Théorème C’est impossible, à moins que la larme, et en fait, si nous essayons de le faire les larmes de pizza!
