Quels sont les nombres imaginaires? Ce sont ces nombres qui, mis au carré, donnent un résultat négatif. Ces nombres, ainsi que les nombres réels, constituent le nombres complexes et s’il vous semble étrange que le carré d’un nombre puisse être négatif, vous êtes en bonne compagnie : les nombres imaginaires, utilisés pour la première fois au XVIe siècle par Cardan pour résoudre des équations en étendant l’ensemble des nombres réels et sont obtenus en multipliant un nombre réel par leunité imaginaireindiqué par la lettre leils n’ont été pleinement acceptés comme numéros qu’au 19ème siècle. Voyons comment fonctionnent ces nombres, pourquoi ils ont été inventés et quand ils ont été pleinement acceptés par les mathématiciens.
Qu’est-ce qu’ils sont et quand un nombre est imaginaire
Quelle est la racine carrée de 4 ? Elle est égale à 2, puisque le carré de 2 est 2 × 2 = 4. Et la racine carrée de 9 ? Cela vaut 3 puisque 3 × 3 = 9. Mais quelle est la racine carrée du nombre négatif -1 ? Nous pouvons supposer que c’est -1, mais si nous essayons de multiplier -1 × -1, nous obtenons 1, et la même chose se produit si nous essayons la même opération avec 1.
Même si nous essayons, nous ne pouvons pas trouver un nombre qui, une fois mis au carré, donne comment résultat -1ou tout autre nombre négatif, car, selon la règle des signes, quelle que soit la manière dont nous multiplions un nombre par lui-même, le résultat sera toujours positif.
C’est alors qu’une invention des mathématiciens nous vient en aide, à savoir le nombre imaginaire le qui doit son nom au mathématicien du XVIIIe siècle Euler défini ainsi :
ce nombre qui, une fois au carré, est -1, c’est-à-dire le × le = -1autrement dit le c’est là racine carrée de -1.
A partir de ce numéro, le nombres imaginaires qui sont tous ceux
des nombres qui, une fois mis au carré, donnent au résultat un nombre réel négatif, c’est-à-dire un nombre décimal.
Ces nombres peuvent être construits à partir du nombre le en le multipliant par tous les nombres réels possibles. Par exemple 2le (ce qui serait 2 × je), 3le, -5le, 2.7le ce sont tous des nombres imaginaires.
Voyons ce qui se passe si nous essayons de calculer le carré de l’un de ces nombres en utilisant les règles de fonctionnement normales :
2le ×2le = 2 × le × 2 × le = 2 × 2 × le × je = 4 × le × le = 4 × (-1) = -4
Comme on peut le voir le carré de 2le est -4, donc la racine carrée de -4 est en fait 2le.
Les opérations entre ces nombres sont effectuées en utilisant les règles normales de l’algèbre traitant, en termes simples, de la lettre le comme si c’était ununité de mesure et en me rappelant que le × le = -1.
Dans le cas d’une addition et d’une soustraction entre deux nombres imaginaires le résultat est également un nombre imaginaire par exemple 4i + 8i = 12i et 5i – 3i = 2i. Au contraire, dans le cas de la division et de la multiplication, on obtient des nombres réels simples, par exemple 6i ÷ 3i = 2 et 5i × 3i = 15 × i × i = 15 × (-1) = -15.
Quand à la place additionnons-le des nombres imaginaires aux nombres réels, nous obtenons ce qu’on appelle nombres complexes (qui contiennent à la fois des nombres réels et imaginaires), par exemple 5 + 3i c’est un nombre complexe et sa partie imaginaire est dite 3, tandis que 5 est sa partie réelle. Les nombres complexes ne font qu’unextension des nombres réels qui inclut les nombres imaginaires, un peu comme les nombres rationnels sont l’extension des nombres naturels (ceux utilisés pour compter) qui incluent également les fractions.
Pourquoi ces entités mathématiques existent-elles et à quoi servent-elles ?
« L’utilisation de nombres imaginaires va de l’extraction des racines carrées de quantités négatives jusqu’à la formulation mathématique nécessaire pour décrire l’électromagnétisme, l’électrotechnique, la dynamique des fluides et les systèmes quantiques. Mais où en sont les nombres imaginaires et donc les complexes ? Et pourquoi ont-ils été inventés ?
Au XVIe siècle, le mathématicien italien Girolamo Cardano il est tombé sur ce type de nombres en essayant de trouver deux nombres qui, une fois additionnés, faisaient 10 et multipliés ensemble, faisaient 40. Cardano a découvert que la solution était donnée par deux nombres, le nombre composé de 5 ajouté au racine carrée de -15 et le nombre composé de 5 moins la racine carrée de -15, où « racine carrée de -15 » signifie « ce nombre qui, une fois au carré, est -15 ».
Ces deux nombres additionnés donnent 10 et multipliés ensemble donnent 40, le calcul peut se faire en faisant comme si la racine carrée de -15 est un nombre comme tous les autres en ce qui concerne les règles de fonctionnement.
Cardano considérait les racines carrées des nombres négatifs comme des outils utiles pour résoudre des problèmes mathématiques, mais non applicables au monde réel, comme en témoigne sa déclaration :
« Ainsi progresse la subtilité arithmétique dont le but, comme on dit, est aussi raffiné qu’inutile. »
Malgré cela, Cardano s’est retrouvé à devoir également utiliser des nombres imaginaires pour résoudre les équations du troisième degré, les utilisant donc comme un outil pour apporter une contribution importante à l’avancement des connaissances mathématiques, dans ce cas les nombres imaginaires se sont révélés être utile, même si ce n’est pas au sens concret du terme.
Les nombres imaginaires, qui doivent leur nom à Descartes (XVIIe siècle) qui croyaient qu’il ne s’agissait que de nombres imaginables mais qui n’existaient pas dans la réalité, sont donc nés comme une sorte de artifice utiles pour résoudre des équations, mais ils n’ont pas été pleinement acceptés par les mathématiciens pendant plusieurs siècles. L’illustre physicien et mathématicien Isaac Newton a comparé ces nombres à des problèmes qui n’avaient pas de solution physique ou géométrique réelle, tandis que son tout aussi illustre rival, Gottfried Wilhelm von Leibniz, faisait référence au nombre le comme un
cet amphibien entre l’être et le non-être que nous appelons la racine imaginaire de l’unité négative
Les nombres complexes, et avec eux les nombres imaginaires, se retrouvent pleins acceptation parmi les mathématiciens seulementdébut du 19ème siècle où se développe et se diffuse une manière de les représenter sur le plan cartésien (grâce aux travaux du Danois Caspar Wessel, du Suisse Jean-Robert Argand et de l’Allemand Carl Friedrich Gauss). Depuis, ces nombres sont devenus partie intégrante des mathématiques et d’autres sciences plus concrètes, comme la physique, à tel point que le nombre le on la retrouve également dans l’identité d’Euler, considérée comme la plus belle équation du monde (voir figure ci-dessous), et qui est liée à l’étude de phénomènes concrets tels que la croissance exponentielle et les phénomènes de vagues.
0 c’est le seul nombre qui appartient simultanément à l’ensemble des nombres réels et à celui des nombres imaginaires.
