Nous nous trouvons dans cette situation : nous sommes agriculteurs et nous avons 10 caisses de pommes prêt à être chargé sur un camion en direction du marché. 9 de ces cartons contiennent des pommes qui pèsent 150 grammes une heure, pendant que 1 sola contient des pommes de 200 grammes.
Pour distinguer la boîte avec les différentes pommes nous avions attaché un carton rouge à l’extérieur, mais à cause du vent il s’est détaché et maintenant on ne sait plus de laquelle il s’agit. À l’œil nu, ces pommes ne se distinguent pas des pommes plus légères et toutes les cassettes le sont également. égaux les uns aux autres. Heureusement, nous disposons d’une balance et d’une cassette vide.
Le problème c’est que le camion attend et qu’on a le temps de faire une seule pesée. Comment trouver la boîte avec les pommes les plus lourdes ?
La solution à l’énigme de la caisse de pommes
Si nous disposions de plus de temps et de plus de pesées, nous pourrions prélever une pomme à la fois dans chaque caisse, la peser et ainsi identifier la caisse contenant les pommes les plus lourdes. Cependant, comme nous ne pouvons utiliser la balance qu’une seule fois, nous devons trouver un moyen plus efficace d’obtenir toutes les informations nécessaires avec une seule mesure.
Nous numérotons d’abord les cassettes de 1 à 10. Ensuite nous prenons de première cassette une pommedu deuxième deux pommesdu troisième trois pommes et ainsi de suite, jusqu’à atteindre dîme cassette, à partir de laquelle nous prenons dix pommes.
Au total nous aurons sélectionné :
1+2+3+…+10 = 55 pommes.
Maintenant, nous mettons toutes les pommes dans la boîte vide et les pesons ensemble, une seule fois. Si toutes les pommes étaient identiques et pesaient 150 grammes, la balance indiquerait exactement :
55 pommes x 150 grammes = 8250 grammes.
Cependant, nous savons que l’une des boîtes contient des pommes de 200 grammes, c’est-à-dire des pommes qui pèsent 50 grammes de plus par rapport aux autres. Notre balance indiquera donc un nombre supérieur à 8250. Le différence entre poids mesuré par l’échelle e 8250 il nous dira exactement combien de pommes de 200 grammes nous avons capturées : un gaspillage de 50 grammes correspond à une pomme, un gaspillage de 100 à deux pommes, un gaspillage de 150 à trois pommes, et ainsi de suite.
Grâce à ces informations, nous pourrons obtenir le numéro de caisse de différentes pommes, car il correspond au nombre de pommes les plus lourdes.
Par exemple, si la balance indiquait 8 300 grammes, nous aurions :
8 300 – 8 250 = 50 grammes.
Ça veut dire quoi un seul pomme 200 grammes. Puisque nous n’avons pris qu’une seule pomme de la caisse numéro 1, il faudra que la caisse avec les pommes les plus lourdes soit là numéro 1.
Si au contraire la balance indiquait 8350 grammes, nous aurions :
8350 − 8250 = 100 grammes.
Dans ce cas il y aurait deux pommes plus lourd que prévu. La cassette d’où nous les avons extraits doit donc être là numéro 2.
En suivant le même raisonnement, si l’on lit 8400 grammes sur la balance, la cassette que l’on recherche sera là numéro 3alors que si l’on lit 8750 grammes nous aurons une différence de 500 grammes, soit 10 pommes plus lourdes : la boîte avec les différentes pommes sera donc le numéro 10.
De cette façon, avec une seule pesée, nous pourrons identifier la bonne cassette.