Sur unîle Éloigné, vit un tribu qui suit une règle de fer: Personne n’a à connaître la couleur de leurs yeux. Il y a 1000 habitants de l’île: 100 avoir le yeux bleus Et 900 Le yeux bruns. Cependant, personne ne sait de quelle couleur sont vos yeux. Quiconque découvre doit commencer immédiatement, grimpant le ferry qui s’arrête sur la côte tous les matins pour enlever ceux qui ont enfreint la loi.
Pour éviter de le découvrir, il n’y a pas de miroirs, l’eau est maintenue dans des conteneurs opaques et parler de la couleur des yeux est strictement interdit. De plus, les insulaires sont extrêmement intelligent Et ils sont tous capables de penser logiquement.
Un jour, Un voyageur arrive sur l’île. Pendant le banquet en son honneur, il prononce une phrase qui changera sa vie sur l’île:
Comme c’est beau! Je ne suis pas le seul ici à avoir des yeux bleus!
Ce affirmation Sur deux pieds, cela peut sembler inutile: Le voyageur a simplement remarqué qu’il y a au moins une personne aux yeux bleus. Sur deux pieds, il ne semble pas que cette déclaration puisse avoir des conséquences, il n’y a rien de nouveau dans les mots du voyageur!
Et au lieu de cela … commence une chaîne d’événements imparable: au 100e jour Après le banquet, Tous les insulaires aux yeux bleus quittent l’île en même temps. Mais pourquoi? Nous le découvrons dans cet article, dans lequel nous voyons comment certains problèmes logiques peuvent être résolus avec un principe appelé induction mathématiquequi consiste à démontrer un cas de base puis à généraliser la solution.
Commençons donc par le cas où il n’y a qu’une seule personne aux yeux bleus.
La solution s’il n’y a qu’une seule personne aux yeux bleus: il s’en va après une journée
Commençons par le cas le plus simple: il y en a un seule personne Avec des yeux bleus, que nous appelons Andrea. Après la phrase du voyageur, Andrea regarde autour de lui et ne voit personne avec des yeux bleus. Alors il comprend que Il doit être le seul aux yeux bleus. Comme il sait maintenant avec certitude la couleur de ses yeux, il a enfreint la loi et le lendemain matin, il prend le ferry pour quitter l’île. Tous les autres pourront continuer à vivre sur l’île parce qu’ils sauront qu’ils n’ont pas les yeux bleus, mais ils ne sauront pas avec certitude de la couleur de leurs yeux.
S’il y a Une personne avec les yeux bleus, l’île quittera l’île jour après Le banquet.
S’il y a deux insulaires aux yeux bleus, ils s’en vont après deux jours
Imaginons maintenant qu’il y a deux Islanders aux yeux bleus: Andrea Et Beatrice. Les deux voient une personne aux yeux bleus (l’autre), mais ils ne savent pas qu’ils en ont aussi. Ils font ce raisonnement:
Si je n’ai pas les yeux bleus, alors la seule personne aux yeux bleus est l’autre, qui commencera demain matin.
Le lendemain matin, cependant, Andrea et Beatrice voient que Personne n’a quitté l’île. Cela signifie que l’autre personne a également vu quelqu’un aux yeux bleus et a hésité pour la même raison. Et l’autre personne aux yeux bleus ne peut être eux-mêmes que, car ils voient clairement que tous les autres ont des yeux bruns. À ce point, Ils comprennent tous les deux des yeux bleus Et, le deuxième matin, ils montent ensemble sur le ferry.
S’il y a deux Islanders aux yeux bleus, ils quitteront l’île deux jours Après le banquet.
Le raisonnement inductif: que se passe-t-il pour 100 insulaires aux yeux bleus
Imaginons maintenant qu’il y avait eu une troisième personne aux yeux bleus – en plus d’Andrea et de Béatrice, il y a Chiara – et nous essayons de stériliser le raisonnement, en nous rappelant que les habitants de l’île sont très intelligents et capables de raisonnement mathématique:
- Tous les trois savent que s’il n’y avait eu qu’une seule personne aux yeux bleus, il partirait après une journée;
- Ils savent également que, s’il n’y avait que deux personnes aux yeux bleus, ils iraient au deuxième jour;
- Andrea, Beatrice et Chiara voir chaque deux personnes avec les yeux bleus et pensez comme ceci:
Si le matin du deuxième jour après le banquet, personne ne quitte l’île, cela signifie qu’il y a une troisième personne aux yeux bleus et que cette personne est juste moi, car je ne vois aucune autre personne aux yeux bleus.
Quand le matin du deuxième jour Et Personne ne quitte l’îleTous les trois comprennent qu’il n’y a pas seulement deux, mais trois personnes aux yeux bleus! Et qu’ils sont tous les trois. Abandonner Donc l’île avec le matin de troisième jour.
Ce raisonnement peut être étendu à un certain nombre d’îles avec des yeux bleus: s’il y a sur l’île 100 personnes aux yeux bleusattendra tous le 99e jour. Lorsque personne ne quitte l’île le matin du 99e jour, tous les 100 comprendront qu’ils ont des yeux bleus. Donc, ils partiront tous avec 100e jour après le banquet.
Le principe d’induction fonctionne comme ceci: le cas initial est démontré (celui dans lequel il n’y a qu’une seule île aux yeux bleus), puis il est démontré que si elle s’applique à N (dans ce cas 99), elle s’applique également à N + 1 (dans ce cas 100) et cela nous garantit que le raisonnement peut être étendu à tout nombre naturel. S’il y avait 300 personnes aux yeux bleus, par exemple, ils commenceraient après 300 jours.
La solution de l’Indovinel vient grâce à la notoriété commune
Quiconque lit cette énigme pourrait faire l’objection suivante:
Mais s’il y a un homme aux yeux bleus, les autres insulaires le savaient, déjà parce qu’ils l’avaient vu! Et tout le raisonnement valait encore. Le fait que le voyageur ait dit à haute voix ne change rien!
Au lieu de cela, en réalité, tout change! Pourquoi? Parce que la phrase du voyageur en a introduit une nouvelle Informations cruciales: Pas tellement le fait qu’il y a des îles avec des yeux bleus, mais le fait que tout le monde le sait même instant. L’affirmation du voyageur a transformé les connaissances individuelles en notoriété publique. Avant sa phrase, chaque personne aux yeux bleus savait qu’il y en avait d’autres, mais personne ne savait que d’autres le savaient aussi, car sur l’île, il est strictement interdit de discuter de la couleur de l’œil.
Après la déclaration du voyageur, Tout le monde sait que tout le monde sait de l’existence des yeux bleus. Cela conduit tous les insulaires à commencer le raisonnement en même temps et à commencer par le nombre de jours ensemble. Ce n’est que de cette manière que tout le monde peut être sûr que les autres font également le même raisonnement en même temps et puissent ensuite quitter l’île.