Si nous n’avons pas de calculatrice avec nous, le moyen le plus rapide que nous connaissions pour faire le multiplications c’est en colonne. Mais il existe une autre méthode qui remonte à les anciens Egyptiens, nous est parvenu via un papyrus de 1650 avant JC, basé uniquement sur doublement et addition.
Bien que cela semble contre-intuitif, la méthode du doublement cache en réalité plusieurs propriétés mathématiques, dont la écrire en binaire d’un nombre et le propriété distributive de multiplication.
Pour multiplier, il suffit de doubler
La multiplication égyptienne, également connue sous le nom de méthode du doublement, est arrivée aujourd’hui grâce à la découverte du Papyrus arrièreun écrit datant de 1650 avant JClorsque le scribe Ahmes a transcrit un papyrus antérieur datant de 2000 avant JC contenant des tableaux de fractions et des problèmes arithmétiques, algébriques et géométriques.
La méthode est très simple, bien que non immédiate, et consiste à exécuter deux doublements répétés différents:
- le premier, sous le premier facteur de multiplication, consiste à commencer à partir de 1 et doubler – puis continuez par 2, puis 4, 8, 16, … – jusqu’à atteindre le plus grande puissance de 2 inférieure au premier facteur (dans le cas de l’exemple ci-dessous, puisque le premier facteur est égal à 36, la plus grande puissance de 2 inférieure à 36 est 25 = 32)
- la seconde, sous le deuxième facteur de multiplication, consiste à à partir de la valeur du facteur (dans le cas de l’exemple ci-dessous, 17) e double – donc dans notre cas 17, 34, 68, … – autant de fois que les doublements de la première colonne.
À ce point, nous choisissons sous le premier facteur je Nombres Que, additionnés, donner comme résultat précisément le premier facteur (dans notre cas, nous choisissons 32 et 4, ce qui fait 36). Nous sommes sûrs que cette opération est réalisable car elle se trouve juste là écriture binaire du premier facteur et tout entier peut être écrit comme une somme de puissances de 2.
Maintenant nous choisissons les numéros correspondants que l’on retrouve dans la colonne sous le deuxième facteur et là additionnons-le. Leur somme est précisément le résultat de la multiplication (dans notre cas, ils sont 68 et 544, ce qui, additionnés, donne 612, qui est précisément le résultat de l’opération 36 x 17 – essayez-le avec la calculatrice pour le croire !).
La méthode utilise la décomposition binaire et la propriété distributive
Vu sous cet angle, il semble incroyable que cette méthode apparemment aléatoire nous donne réellement le résultat d’une multiplication. En vérité, ce qui se cache derrière lui est quelque chose de très sophistiqué, c’est-à-dire système binaire, qui est la base des technologies de l’information modernes.
Lorsque nous écrivons les puissances de 2 sous le premier facteur et que nous choisissons ensuite celles qui, une fois ajoutées, donnent comme résultat le premier facteur, nous sommes exactement le décomposer le numéro dans son composants binaires. Dans notre cas, nous avons écrit 36 comme 4+32, c’est-à-dire 22+25. Sans le savoir, dans la deuxième colonne nous avons écrit les puissances de 2 que l’on voit dans la première colonne, multipliées par le deuxième facteur, donc dans notre cas 17.
Lorsque nous les ajoutons, nous utilisons donc essentiellement le propriété distributive: on a décomposé le premier facteur en puissances de 2, puis au lieu de multiplier le premier facteur par le second, on a multiplié les différentes puissances de deux par le deuxième facteur, puis on a ajouté le résultat.